Поддержать программу
ПостНаука на Дожде
13:22
7 мая
Наука

Что такое теория чисел и как зародилась геометрическая теория представлений

Рассказывает математик Михаил Финкельберг
865
0
Купите подписку, чтобы посмотреть полную версию.
Скидка 34%
3 800 / год
4 800
Скидка 11%
1 280 / 3 мес
1 440
Базовая подписка
480 / месяц
Уже подписчик? Войти Купить подписку

Комментирование доступно только подписчикам.
Оформить подписку
Расписание
Следующий выпуск
26 августа 16:00
четверг: 11:00
суббота: 16:00
воскресенье: 01:00, 16:00
понедельник: 01:00, 11:00

Вместе со Сколковским институтом науки и технологий ПостНаука сняла курс «Современная математическая физика», посвященный актуальным физическим теориям и их объяснению при помощи математических методов. В этой лекции преподаватель магистерской программы «Математическая физика» Сколтеха Михаил Финкельберг рассказывает об изучении теории представлений.

«Больше лекций и видеороликов смотрите на сайте проекта «ПостНаука»

Израиль Моисеевич Гельфанд, один из главных героев теории представлений XX века, говорил, что в математике есть три основных источника задач: физика, геометрия и арифметика (теория чисел). Теория представлений родилась около 1900 года из задачи теории чисел. Дирихле, современник Римана, доказал знаменитую теорему о простых числах в арифметической прогрессии: если первый член и шаг прогрессии взаимно просты, то в ней встречаются простые числа. Для доказательства он использовал комплексный анализ, примененный к модификации дзета-функции Римана, ― L-функции Дирихле. Эти функции строятся по характерам абелевой группы Галуа кругового расширения поля рациональных чисел, изучается их асимптотика в единице, а потом еще применяется гармонический анализ (преобразование Фурье) на этой конечной абелевой группе.

Потом Дедекинд, ученик Дирихле, хотел подобным образом изучать более сложные расширения поля рациональных чисел, с неабелевой группой Галуа. Для этого требовалось понятие характера неабелевой группы (Галуа), и Дедекинд дал своему ученику Фробениусу задание разработать теорию таких характеров. И Фробениус эту задачу решил. Сначала по отдельности для каждой степени (то есть значения в единице) определил характеры как решения неких функциональных уравнений, а потом определил их все одним махом как следы представлений и вычислил все характеры симметрических и знакопеременных групп. Вскоре Диксон вычислил характеры матричных 2х2-групп над конечными полями, и наука пошла быстро развиваться.

Фото: DepositPhotos

Полная версия доступна только подписчикам. Подпишитесь: