Поддержать программу
ПостНаука на Дожде
11:00
7 мая
Наука

Что такое «блистательная теорема» Гаусса, римановые пространства и дифференциальная геометрия

Объясняет математик Максим Казарян
1 190
1
Купите подписку, чтобы посмотреть полную версию.
Скидка 17%
4 800 / год
5 760
Скидка 11%
1 280 / 3 мес
1 440
Базовая подписка
480 / месяц
Уже подписчик? Войти Купить подписку
Расписание
Следующий выпуск
1 июля 16:00
суббота: 16:00
воскресенье: 02:00, 16:00
понедельник: 02:00, 11:00

Вместе со Сколковским институтом науки и технологий ПостНаука сняла курс «Современная математическая физика», посвященный актуальным физическим теориям и их объяснению при помощи математических методов. В этой лекции преподаватель магистерской программы «Математическая физика» Сколтеха Максим Казарян рассказывает о римановых многообразиях.

«Больше лекций и видеороликов смотрите на сайте проекта «ПостНаука»

Я расскажу про дифференциальную геометрию. Это классический предмет, но, с другой стороны, это современный язык математической физики. Чтобы понять, что это такое, давайте начнем с римановых многообразий, которые являются одним из основных объектов дифференциальной геометрии. Риманово многообразие ― это многообразие или многомерное пространство, в котором есть дополнительная структура ― квадратичная форма или скалярное произведение в каждой точке. И это позволяет проводить на нем измерения: измерять длины кривых, углов и все, что мы умеем делать в евклидовом пространстве, но только при условии, что само пространство не является евклидовым. Простейшим таким примером, источником многих примеров служит поверхность, погруженная в трехмерное пространство. Если мы находимся на поверхности, то, двигаясь вдоль нее, мы можем измерять длины кривых, углы, длины векторов, площади, но при этом нам вовсе не нужно помнить о том, что мы находимся в объемлющем пространстве, ведь если мы движемся на кривой, то мы все это можем восстановить.

Та информация, которая у нас задана на поверхности, которая позволяет все это измерять, называется римановой структурой. Римановыми поверхностями занимались испокон веков, еще со времен Гаусса, с XVIII века. И помимо внутренней геометрии, которая описывается в терминах римановой структуры, есть еще и внешняя геометрия, которая говорит о том, как поверхность искривлена в трехмерном пространстве. Если посмотреть, она локально устроена как кусочек параболоида, она выпукла в обе стороны. Это характеризуется так называемой второй квадратичной формой, она описывает искривление поверхности.

Фото: DepositPhotos

Полная версия доступна только подписчикам. Подпишитесь: